Droste wurde 1934 in Menden im Kreis Iserloh geboren. Nach dem Abitur 1954 entschloss er sich, Rechtswissenschaften zu studieren. Das Jura-Studium absolvierte er an den Universitäten Münster und München, ehe er 1957 nach der ersten juristischen Staatprüfung an das Oberlandesgericht Hamm wechselte, wo er 1961 das zweite juristische Staatsprüfung ablegte. Es folgten Stationen als Anwalt- und Notarvertreter und als Assessor, bevor Droste von 1963 bis 1970 Angestellter bzw. Beamter beim Landkreis wurde. 1970 folgte dann die Versatzung zum Landkreis Hannover, zunächst als Kreisdirektor im Dezernat II für Schulwesen, Ordnungsangelegenheiten und Krankenhausbereich, dann als Leitender Kreisdirektor, ehe 1974 die Ernennung zum Oberkreisdirektor folgte. Zweimal wurde Droste jeweils für die Dauer von zwölf Jahren wiedergewählt. Bei seiner Pensionierung zum 1999 konnte er auf eine 25-jähirge Amtszeit als Oberkreisdirektor zurücksehen.

Unter seinen Mitgliedschaften in zahlreichen Aufsichtsräten, Beiräten und weiteren Gremien ist seine Arbeit für die Kreisparkasse Hannover besonders hervorzuheben. Ein Vierteljahrhundert hat er die Institution, die aus den Kreissparkassen Springe, Burgdorf und Neustadt sowie der Kreissparkasse des Landkreises Hannover hervorgegangen ist, wesentlich mitgeprägt: Von 1975 bis 1999 war Droste Vorsitzender des Verwaltungsrats der Kreissparkasse. Für sein Engagement wurde er 1993 mit der Niedersächsischen Sparkassenmedaille in Gold ausgezeichnet.