Der im Siegerland aufgewachsene Weiss entstammt der Gründerfamilie des Unternehmens, das er von 1971 bis 2013 in vierter Generation 42 Jahre lang operativ geführt hat. 2013 übernimmt er den Vorsitz des Aufsichtsrats der SMS group, seit 2016 ist er Vorsitzender des Gesellschafterausschusses des Unternehmens. Im Jahr 2016 haben sämtliche Gesellschafter ihre Anteile in die Familie Weiss Stiftung eingebracht, um das unternehmerische Vermögen der Familie auch langfristig zusammenzuhalten.

Nach seinem Abschluss als Diplom-Ingenieur (1967), einigen Jahren praktischer Tätigkeit und als Geschäftsführer einer Tochtergesellschaft übernimmt Heinrich Weiss 1971 von seinem Vater
Bernhard den Vorsitz der Geschäftsführung der SIEMAG Siegener Maschinenbau GmbH, Hilchenbach. Das Unternehmen war damals mit einem Jahresumsatz von rund 70 Mio. Euro eines der fünf größeren Walzwerksbauer in Deutschland.

Unter der Führung von Heinrich Weiss entwickelt sich das Familienunternehmen durch mehrere Fusionen und Übernahmen zahlreicher Gesellschaften im In- und Ausland zur heutigen SMS group, einer der weltweit führenden Unternehmensgruppen auf dem Gebiet des Anlagen- und Maschinenbaus für die Herstellung und Verarbeitung von Stahl- und NE-Metallen, das mit rund 13.500 Mitarbeitern einen Umsatz von über 3 Mrd. Euro erwirtschaftet. Heinrich Weiss hatte in den vergangenen Jahrzehnten zahlreiche Aufsichtsratsmandate in der Wirtschaft inne, unter anderem als Mitglied des Aufsichtsrats der Commerzbank AG, Frankfurt a. M., der Deutsche Bahn AG, Berlin, der Voith AG, Heidenheim, der Bertelsmann AG, Gütersloh, der Hochtief Aktiengesellschaft, Essen und als Mitglied des Verwaltungsrats der Bombardier Inc., Montreal und dem ABB-Konzern, Zürich.

Daneben hat er auch umfangreiche Verantwortung in der Politik und in verschiedenen Verbänden übernommen, so als Vorsitzender des Außenwirtschaftsbeirats beim Bundesminister für Wirtschaft, Berlin, als Vorstandsmitglied des Asien-Pazifik-Ausschusses der Deutschen Wirtschaft oder als Vorstandsmitglied im Ost-Ausschuss der Deutschen Wirtschaft, Berlin.

Er war von 2008 bis 2012 Präsident der Deutsch-Russischen Auslandshandelskammer, Moskau, und von 1982 bis 1997 Vorsitzender des Arbeitskreises China im Asien-Pazifik-Ausschuss der Deutschen Wirtschaft. Heinrich Weiss gilt als einer der Pioniere der chinesisch-deutschen Wirtschaftsbeziehungen nach der Öffnung des Landes Ende der 70er-Jahre. Von 1983 bis 1988 war er Bundesvorsitzender des Wirtschaftsrats der CDU e.V., 1983 bis 1989 Vizepräsident des VDMA, Verband Deutscher Maschinen- und Anlagenbau e.V. und 1991 bis 1992 Präsident des Bundesverbands der Deutschen Industrie (BDI).

Im Jahre 2001 wird Heinrich Weiss zum Dr.-Ing. E.h. der Rheinisch-Westfälischen Technischen Hochschule Aachen (RWTH) promoviert.